Question

【題目】如圖，AH是⊙O的直徑，矩形ABCD交⊙O于點E，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，點B落在CD邊上的點F處，畫直線EF．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線．
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

如圖，連接OE，

∵OA=OE，

∴∠EAO=∠AEO，

由折疊可得∠EAO=∠FAE，

∴∠FAE=∠AEO，

∴AF∥OE，

∴∠AFE+∠OEF=180°，

在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

由折疊可知∠AFE=∠ABC=90°，

∴∠OEF=90°，

∴OE⊥EF，且點E在圓上，OE為半徑，

∴EF是⊙O的切線

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，CD=10，

∴AB=CD=10，∠ABE=90°，

設OA=OE=x，則OB=10﹣x，

在Rt△OBE中，∠OBE=90°，EB=5，

由勾股定理可得OB2+BE2=OE2，

∴（10﹣x）2+52=x2，解得x= ，

∴AH=2x= ，

∴⊙O的直徑為

【解析】（1）連接OE，由折疊的性質結合條件可證得OE∥AF，再由條件可得AF⊥EF，則可證得結論；（2）可設OA=OE=x，則OB=10﹣x，在Rt△OBE中，可求得x的值，進一步可求得⊙O的直徑．
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．