Question

如圖，已知拋物線y=x²+4x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（-1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；
（2）在平面直角坐標系xoy中是否存在點P，與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-

b

2a

，求得拋物線的對稱軸，因為函數與X軸的交點是y=0，列方程即可求得；
（2）分別以AC，AB為對角線各可求得一點，再以AC，AB為邊求得一點；
（3）首先可求得梯形DEOC的面積，根據題意：在OE上找點F，使OF=

4

3

，此時S_△COF=

1

2

×

4

3

×3=2，直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線于點M，設直線CM的解析式為y=kx+3，它經過點F（-

4

3

，0），則-

4

3

k+3=0（11分）解之，得k=

9

4

∴直線CM的解析式為y=

9

4

x+3．

解答：解：（1）①對稱軸x=-

4

2

=-2；
②當y=0時，有x²+4x+3=0，
解之，得x₁=-1，x₂=-3，
∴點A的坐標為（-3，0）．

（2）滿足條件的點P有3個，分別為（-2，3），（2，3），（-4，-3）．

（3）存在．
當x=0時，y=x²+4x+3=3
∴點C的坐標為（0，3），
∵DE∥y軸，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3，
∴△AED∽△AOC
∴

AE

AO

=

DE

CO

即

1

3

=

DE

3

，
∴DE=1．
∴S_梯形DEOC=

1

2

（1+3）×2=4，
在OE上找點F，使OF=

4

3

，
此時S_△COF=

1

2

×

4

3

×3=2，直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線于點M．
設直線CM的解析式為y=kx+3，它經過點F（-

4

3

，0）．
則-

4

3

k+3=0，（11分）
解之，得k=

9

4

，
∴直線CM的解析式為y=

9

4

x+3．

點評：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要學生認真審題．此題考查了二次函數與一次函數，四邊形的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．