Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O為坐標原點，點B的坐標為(4，3)，點A、C在坐標軸上，點P在BC邊上，直線11：y=2x+3，直線12：y=2x﹣3．

（1）分別求直線11與x軸、直線12與AB的交點D和E的坐標；

（2）已知點M在矩形ABCD內部，且是直線12上的點，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標；

（3）我們把直線11和直線12上的點所組成的圖形稱為圖形F．已知矩形ANPQ的頂點N在圖形F上，且在AP的上方，Q是坐標平面內的點，設N點的橫坐標為x，請直接寫出x的取值范圍(不必說明理由)．

Answer 1

【答案】（1）(，0)，(3，3)；（2）點M的坐標為(2，1)；（3）0＜x或x．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標；
（2）分三種情況：①若點A為直角頂點時，點M在第一象限；②若點P為直角頂點時，點M在第一象限；③若點M為直角頂點時，點M在第一象限；進行討論，再看點M是否在矩形ABCD內部，即可求點M的坐標；
（3）根據矩形的性質和N在AP的上方，可求N點的橫坐標x的取值范圍．

（1）直線l1：當y=0時，2x+3=0，x，

則直線l1與x軸坐標為(，0)

直線l2：當y=3時，2x﹣3=3，x=3

則直線l2與AB的交點坐標為(3，3)；

（2）①若點A為直角頂點時，點M在第一象限，連結AC，如圖1所示：

∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴點M不存在；

②若點P為直角頂點時，點M在第一象限，如圖2所示：

過點M作MN⊥CB，交CB的延長線于點N，

則∠PNM=∠ABP=90°，∠BAP=∠NPM，

在△ABP和△PNM中，，∴△ABP≌△PNM(AAS)，∴AB=PN=4，MN=BP，

設M(x，2x﹣3)，則MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4)，

x，∴M(，)，

點M在第一象限，但不在矩形ABCD內部，不合題意舍去；

③若點M為直角頂點時，點M在第一象限，如圖3所示：

設M1(x，2x﹣3)，

過點M1作M1G1⊥OA，交BC于點H1，

同理：△AM1G1≌△PM1H1(AAS)，

∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3)，

∴x+3﹣(2x﹣3)=4，

x=2，∴M1(2，1)；

設M2(x，2x﹣3)，

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x，

∴M2(，)，

點M2在第一象限，但不在矩形ABCD內部，不合題意舍去；

∴點M的坐標為(2，1)；

（3）當點N在直線l2上時．

∵點N的橫坐標為x，

∴N(x，2x﹣3)，

當點P和點B重合時，P(4，3)，

過N作NH⊥AB于H，則△NHG是直角三角形，如圖4所示：

∴AP的中點G坐標為(2，3)．

∵四邊形ANPQ是矩形，

∴∠ANB=90°，

∴NGAP=2，

∴(x﹣2)2+(2x﹣3﹣3)2=4，

∴x(點N在AB上方的橫坐標)或x=2(點N在AP下方的橫坐標，不合題意舍去)，

當點P和點C重合時，連接NG'，過N作NH⊥G'H于H，

則△NHG'是直角三角形，如圖5所示：

P(4，0)，AP的中點G'坐標為(2，)，

同理：NG'AP，

∴(x﹣2)2+(2x﹣3)2，

∴x(點N在AB上方構成的四邊形是矩形的橫坐標)或x(點N在AP下方構成的四邊形是矩形的橫坐標，不合題意舍去)，

∴x，

當點N在l1上時，

點P和點B重合時，連接NG，過N作NH⊥AB于H，

則△NHG是直角三角形，如圖6所示：

同理：(2﹣x)2+x2=4，

解得：x，∴0＜x，

當點P和點C重合時，N在AP的下方，不合題意，∴x的取值范圍為：0＜x或x．