Question

【題目】如圖，矩形在平面直角坐標系中， 交 軸于點，動點 從原點出發，以每秒 1 個單位長度的速度沿 軸正方向移動，移動時間為秒，過點 P 作垂直于 軸的直線，交 于點 M ，交 或 于點 N ，直線掃過矩形 的面積為．

（1）求點 的坐標；

（2）求直線 移動過程中到點之前的 關于 的函數關系式；

（3）在直線 移動過程中，第一象限的直線上是否存在一點 ，使 是等腰直角三角形? 若存在，直接寫出點 的坐標；若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在．

【解析】

(1)由 ，且AB=6即可求出AO的長，再由勾股定理即可求出BO的長，即可求出A和B點坐標.

(2)P點從原點出發，在到達終點前，直線l掃過的面積始終為平行四邊形BMNE，故求該平行四邊的底BE和高OP，相乘即得到面積S；由，且AB=6，可求出AC=10，過D點作DF⊥x軸，易證，求出CF=AO，進而求出OF的長；由，故，求出OE的長，進而求出OB+OE=BE.

(3)分類討論，當B為直角頂角時，過Q1點作QH⊥y軸，此時△Q1HB≌△BOC，即可求出Q1的坐標；當Q2為直角頂角時，過Q2點作QM⊥y軸，QN⊥x軸，此時Q2MB≌Q2NC,即可求出Q2的坐標.

解：（1）由題意可得

故答案為：

（2）過點作軸，垂足為 F ，則

∴

∵

∴，故，求得

.

當時，直線 掃過的圖形是平行四邊形，

故答案為：.

存在，．如下圖所示：

情況一：當B為直角頂角時，此時BQ1=BC，過Q1點作Q1H1⊥y軸于H1，

∴∠Q1H1B=∠BOC=90°，且BQ1=BC，

∵∠Q1BC=90°

∴∠H1BQ1+∠OBC=90°

又∠BCO+∠OBC=90°

∴∠H1BO1=∠BCO

在△Q1H1B和△BOC中：

，∴△△Q1H1B≌△BOC(AAS)

∴Q1H1=BO=，BH1=OC=，∴OH1=

∴

情況二：當Q2為直角頂角時，此時有Q2B=Q2C，

過Q2點分別作Q2M⊥y軸，Q2N⊥x軸

∴∠MQ2B+∠BQ2N=90°

又∴∠NQ2C+∠BQ2N=90°

∴∠MQ2B =∠NQ2C

在△MQ2B和△NQ2C中

，∴△MQ2B≌△NQ2C(AAS)

∴MQ2= NQ2=OM=ON，且∠MON=90°

∴四邊形Q2MON為正方形，設MB=NC=a

則OC-a=ON=OB=，且OC=

∴求得a=，∴ON=OM=OB+a=

∴

故答案為：和