Question

【題目】如圖1，拋物線y＝（x﹣m）2的頂點A在x軸正半軸上，交y軸于B點，S△OAB＝1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，P是第一象限內拋物線上對稱軸右側一點，過P的直線l與拋物線有且只有一個公共點，l交拋物線對稱軸于C點，連PB交對稱軸于D點，若∠BAO＝∠PCD，求證：AC＝2AD；

（3）如圖3，以A為頂點作直角，直角邊分別與拋物線交于M、N兩點，當直角∠MAN繞A點旋轉時，求證：MN始終經過一個定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）見解析；（3）定點K的坐標為（2，4）

【解析】

（1）先確定A、B的坐標，然后運用頂點式的待定系數法即可解答；

（2）由（1）得拋物線對稱軸為直線x＝2．D、C兩點在直線x＝2上，則設C（2，n），D（2，n'）；延長BA交直線PC于點Q并設直線PC交x軸于點E．再說明Rt△BOA∽Rt△EAC，進一步可得AC=2AE；然后再說明BQ⊥PC，再求出AB、PC、PB的解析式，最后結合圖形即可解答；

（3）過A作垂直于x軸的直線并交MN于點K（2，k），然后再根據旋轉的性質設出M（2﹣k，k），最后代入y＝（x﹣2）2即可求得k的值，進而確定該點的坐標．

解：（1）由題意和y＝（x﹣m）2設A（m，0）

當x＝0時，y═（0﹣m）2＝，即設B（0，）

∴OA＝m，OB＝

由S△OAB＝1

∴OAOB＝1，即m＝2

解得，m＝2

∴A（2，0），B（0，1）

把y＝（x﹣2）2化為一般式為，y＝x2﹣x+1．

（2）由（1）得拋物線對稱軸為直線x＝2．

D、C兩點在直線x＝2上，則設C（2，n），D（2，n'）

如圖2延長BA交直線PC于點Q并設直線PC交x軸于點E．

∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°

∴Rt△BOA∽Rt△EAC

∴∠BAO＝∠ECA

∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝

∴＝

∴AC＝2AE

又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA

∴∠ECA＝∠EAQ

又∵∠ECA+∠CEA＝90°

∴∠EAQ+∠QEA＝90°

∴BQ⊥PC

設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，

解得

∴直線AB的解析式為，y＝﹣x+1

由BQ⊥PC設直線PC的解析式為y＝2x+b'．

又∵過P的直線l與拋物線有且只有一個公共點

∴令2x+b'═（x﹣2）2

整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0

即144﹣4（4﹣4b'）＝0

解得，b'＝﹣8

∴直線PC的解析式為，y＝2x﹣8．

∴把點C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8

解得，n＝﹣4．

∴C點坐標為（2，﹣4），即AC＝4

由AC＝2AE得，AE＝2．

把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，

x2﹣12x+36＝0

解得，x1＝x2＝6

再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8

解得，y＝4

∴P（6，4）

設直線PB解析式為y＝k'x+1

把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1

解得，k'＝

∴直線PB的解析式為，y＝x+1

又∵D（2，n'）在直線PB上，將其代入y＝x+1中得，

n'＝×2+1＝2

∴D點坐標為（2，2），即AD＝2

∴AD＝AE

∴AC＝2AD

（3）如圖3﹣1過A作垂直于x軸的直線并交MN于點K（2，k）．

∵∠MAN為直角

∴∠M+∠N＝90°，∠MAK+NAK＝90°

又∵∠MKA＝∠N+∠NAK，∠NKA＝∠M+MAK

∴∠MKA+∠NKA＝180°

∴直角∠MAN繞A點旋轉時，M、K、N三點始終在一條直線上，即MN始終經過一個定點K．

如圖3﹣2當MN∥y軸時，此時Rt△MAN為等腰直角三角形，應有AK＝MK，則設M（2﹣k，k）．

把M（2﹣k，k）代入y＝（x﹣2）2中得，k＝（2﹣k﹣2）2

解得，k1＝0（舍去），k2＝4

∴定點K的坐標為（2，4）．