Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（0，2）

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-3，1）

；
（2）拋物線的解析式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

；
（3）設(shè)（2）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；
（4）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出OE、BE的長(zhǎng)即可求出B的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；
（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，然后求出CF的長(zhǎng)，再根據(jù)S_△DBC=S_△CEB+S_△CED進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP₁C≌△FBC，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出點(diǎn)P₁點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，由全等三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)代入拋物線的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

解答：解：（1）∵C（-1，0），AC=

5

，
∴OA=

AC2-OC2

=

5-1

=2，
∴A（0，2）；
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC與△CFB中，
∵

∠FBC=∠ACO BC=AC ∠BCF=∠CAO

，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐標(biāo)為（-3，1），
故答案為：（0，2），（-3，1）；

（2）∵把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
∴拋物線解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（3）由（2）中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點(diǎn)D（-

1

2

，-

17

8

），
設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：

-3k+b=1 - 1 2 k+b=- 17 8

，
解得

k=- 5 4 b=- 11 4

．
∴BD的關(guān)系式為y=-

5

4

x-

11

4

．
設(shè)直線BD和x 軸交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（-

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴S_△DBC=

1

2

×

6

5

×（1+

17

8

）=

15

8

；

（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；
則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCF，∠P₁MC=∠BFC=90°，
∴△MP₁C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P₁M=BF=1，
∴P₁（1，-1）；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；
則過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（2，1），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P₁（1，-1）與點(diǎn)P₂（2，1）都在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．