Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3的頂點為M（2，﹣1），交x軸于點A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設經過點C的直線與該拋物線的另一個點為D，且直線CD和直線CA關于直線CB對稱，求直線CD的解析式；
（3）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足PM2+PB2+PC2=35，求點P的坐標；并直接寫出此時直線OP與該拋物線交點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將M（2，﹣1）、B（3，0）代入拋物線的解析式中，得：

，

解得 ．

故拋物線的解析式：y=x2﹣4x+3．

（2）

解：由拋物線的解析式知：B（3，0）、C（0，3）、A（1，0）；

則△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．

過B作BE⊥x軸，交直線CD于E（如下圖），

則∠EBC=∠ABC=45°；

由于直線CD和直線CA關于直線CB對稱，所以點A、E關于直線BC對稱，則BE=AB=2；

則E（3，2）．

由于直線CD經過點C（0，3），可設該直線的解析式為y=kx+3，代入E（3，2）后，得：

3k+3=2，k=﹣

故直線CD的解析式：y=﹣ x+3．

（3）

解：設P（2，m），已知M（2，﹣1）、B（3，0）、C（0，3），則：

PM2=（2﹣2）2+（m+1）2=m2+2m+1，PB2=（3﹣2）2+（0﹣m）2=m2+1，PC2=（0﹣2）2+（3﹣m）2=m2﹣6m+13；

已知：PM2+PB2+PC2=35，則：m2+2m+1+m2+1+m2﹣6m+13=35，化簡得：3m2﹣4m﹣20=0

解之得：m1=﹣2，m2= ；

則P1（2，﹣2）、P2（2， ）

當點P坐標為（2， ）時，由圖可知，直線OP與拋物線必有兩個交點；

當點P坐標為（2，﹣2）時，直線OP：y=﹣x，聯立拋物線的解析式有：

x2﹣4x+3=﹣x，即 x2﹣3x+3=0

△=（﹣3）2﹣4×3＜0，

故該直線與拋物線沒有交點；

綜上，直線OP與拋物線有兩個交點．

【解析】（1）拋物線的解析式中只有兩個待定系數，將已知的兩點坐標代入其中進行求解即可．（2）由C、B兩點的坐標不難判斷出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x軸交CD于E，結合“直線CD和直線CA關于直線CB對稱”可得出A、E關于直線BC對稱，結合點B的坐標以及AB的長即可得到點E的坐標，在明確C、E兩點坐標的情況下，直線CD的解析式即可由待定系數法求得．（3）先設出點P的坐標，而M、B、C三點坐標已知，即可得到PM2、PB2、PC2的表達式，結合題干的已知條件即可求出點P的坐標，從而進一步判斷出直線OP與拋物線的交點個數．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．