Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求這個拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（2）若在x軸下方且平行于x軸的直線與該拋物線交于點M、N，若以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑；
（3）在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使△PAC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，-4）；

（2）設所求圓的半徑為r（r＞0），M在N的左側，
由題意可知所求圓的圓心在拋物線的對稱軸
x=1上，
作NG⊥x軸于點G，
∵所求圓與x軸相切，MN∥x軸，且圓心在x軸下方，
∴N（r+1，-r），
∵N（r+1，-r）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得，（負值舍去）
∴．

（3）∵拋物線的對稱軸為x=1，設P（1，m），
在Rt△AOC中，AC²=1+3²=10，
在Rt△APE中，PA²=m²+4，
在Rt△PCF中，PC²=（m+3）²+1=m²+6m+10，
①若PA=PC，則PA²=PC²，得：
m²+4=m²+6m+10，解得：m=-1；
②若PA=AC，則PA²=AC²，得：
m²+4=10，解得：m=；
③若PC=AC，則PC²=AC²，得：
m²+6m+10=10，解得：m=0或m=-6；
當m=-6時，P、A、C三點共線，不合題意，舍去，
∴符合條件的P點的坐標分別為：
P₁（1，）、P₂ （1，）、P₃ （1，-1），P₄ （1，0）．
分析：（1）配方后即可確定其頂點坐標和對稱軸；
（2）設出圓的半徑表示出點N的坐標，然后根據N點在拋物線上求得圓的半徑即可；
（3）分PA=PC、PA=AC和PC=AC三種情況分類討論即可得到結論．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，特別是頂點坐標、對稱軸的確定是進一步解題的依據，比較重要．