Question

如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當BE經過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；
（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方），且PQ=1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法代入求出二次函數解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函數頂點坐標，再利用GH是△BEA的中位線．得出EA=3GH=

4

3

．進而得出CF=FM+CM得出答案；
（3）根據要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點C向上平移一個單位，再做關于對稱軸對稱的對稱點C₁，求出直線BC₁的解析式，以及P、Q兩點的坐標．

解答：解：（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．
設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．
則

4a+2b+2=2 9a+3b+2=0

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3

，
∴y=-

2

3

x2+

4

3

x+2．

（2）由y=-

2

3

x2+

4

3

x+2=-

2

3

(x-1)2+

8

3

．
∴頂點坐標為G（1，

8

3

）．
過G作GH⊥AB，垂足為H．
則AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位線．
∴EA=2GH=

4

3

．
過B作BM⊥OC，垂足為M．則MB=OA=AB．
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM=EA=

4

3

．
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=

7

3

．

（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，
將B向下平移一個單位至K，取C關于對稱軸對稱點M．
連接KM交對稱軸于P，將P向上平移1個單位至Q，
可使KP+PM最短．則QPKB為平行四邊形，
QB=PK，
連接CP，軸對稱求出CP=MP，
則CP+BQ最小，
因為CB，QP定值，則四邊形BCPQ周長最短，
∵將點C向上平移一個單位，坐標為（3，1），再做關于對稱軸對稱的對稱點C₁，
∴得點C₁的坐標為（-1，1）．
可求出直線BC₁的解析式為y=

1

3

x+

4

3

．
直線y=

1

3

x+

4

3

與對稱軸x=1的交點即為點Q，坐標為Q（1，

5

3

）．
∴點P的坐標為（1，

2

3

）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合題目，待定系數法求二次函數解析式以及利用三角形中位線的性質是解決問題的關鍵．