Question

【題目】已知y是x的二次函數，該函數的圖象經過點A(0，5)、B(1，2)、C(3，2)．

（1）求該二次函數的表達式，畫出它的大致圖象并標注頂點及其坐標；

（2）結合圖象，回答下列問題：

①當1≤x≤4時，y的取值范圍是　 　；

②當m≤x≤m+3時，求y的最大值（用含m的代數式表示）；

③是否存在實數m、n（m≠n），使得當m≤x≤n時，m≤y≤n？若存在，請求出m、n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+5，見解析；（2）①1≤y≤5，②當x＝m+3時，y有最大值為y＝m2﹣+2m+2；當x＝m時，y有最大值為y＝m2﹣4m+5，③存在，m＝，n＝

【解析】

（1）用待定系數法求出解析式，用描點法畫出函數圖象；

（2）①根據函數圖象找出橫坐標由1到4的點的縱坐標的最大值與最小值，便可寫出y的取值范圍；

②先求出對稱軸x＝﹣，分兩種情況：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根據二次函數的性質求y的最大值便可；

③利用已知可得圖象過（a，a）點，進而得出a的值，即可得出m，n的值．

（1）設二次函數的解析式為：y＝ax2+bx+c（a≠0），則

，

解得，，

∴二次函數的解析式為：y＝x2﹣4x+5，

列表如下：

x	…	0	1	2	3	4	…
y	…	5	2	1	2	5	…

描點、連線，

（2）①由函數圖象可知，

當，當

∴當1≤x≤4時，1≤y≤5，

故答案為：1≤y≤5；

②∵二次函數的解析式為：y＝x2﹣4x+5，

∴對稱軸為x＝2，

當2﹣m≤m+3﹣2，即m≥時，則在m≤x≤m+3內，當x＝m+3時，y有最大值為y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；

當2﹣m＞m+3﹣2，即m＜時，則在m≤x≤m+3內，當x＝m時，y有最大值為y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；

③由已知可得圖象過（a，a）點，

∴a＝a2﹣4a+5，

解得，a＝，

∵當m≤x≤n時，m≤y≤n，

∴可以取m＝，n＝．