Question

【題目】如圖1，△ABC是邊長為8的等邊三角形，AD⊥BC下點D，DE⊥AB于點E

（1）求證：AE＝3EB；

（2）若點F是AD的中點，點P是BC邊上的動點，連接PE，PF，如圖2所示，求PE+PF的最小值及此時BP的長；

（3）在（2）的條件下，連接EF，若AD＝，當PE+PF取最小值時，△PEF的面積是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PE+PF的最小值＝6，BP=2；（3）2

【解析】

（1）解直角三角形求出BE，AE即可判斷．

（2）如圖2中，延長DF到H，使得DH＝DF，連接EF，連接EH交BC于點P，此時PE+PF的值最小．證明∠HEF＝90°，解直角三角形求出EH即可解決問題．

（3）證明△PBE是等邊三角形，求出PE，EF即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠BAC＝60°

∵AD⊥BC，

∴BD＝DC＝4，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，

∴BE＝BD＝2，

∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6，

∴AE＝3BE．

（2）解：如圖2中，延長DF到H，使得DH＝DF，連接EF，連接EH交BC于點P，此時PE+PF的值最小．

∵∠AED＝90°，AF＝FD，

∴EF＝AF＝DF，

∵DF＝DH，

∴DE＝DF＝DH，

∴∠FEH＝90°，

∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，∠B＝60°，

∴AD＝BDtan60°＝4，

∵∠BAD＝∠BAC＝30°，FE＝FA，

∴∠FEA＝∠FAE＝30°，

∴∠EFH＝60°，∠H＝30°，

∵FH＝AD＝4，

∴EH＝FHcos30°＝6，

∴PE+PF的最小值＝PE+PH＝EH＝6，

∵PD＝DHsin30°＝2，

∴BP＝BD﹣PD＝2．

（3）解：如圖2中，∵BE＝BP＝2，∠B＝60°，

∴△BPE是等邊三角形，

∴PE＝2，

∵∠PEF＝90°，EF＝AF＝DF＝2，

∴S△PEF＝PEEF＝×2×2＝2．