Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為，連接AC、BD交于點O，CE平分∠ACD交BD于點E，

（1）求DE的長；

（2）過點EF作EF⊥CE，交AB于點F，求BF的長；

（3）過點E作EG⊥CE，交CD于點G，求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）2-；（2）2-；（3）3-4.

【解析】

（1）求出，根據勾股定理求出，即可求出；

（2）求出，根據全等三角形的性質得出即可；

（3）延長交于，證，得出比例式，代入即可求出答案.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，

∵CE平分∠DCA，

∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，

∵∠DBC=45°，

∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，

∴BE=BC=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，

∴DE=BD﹣BE=2﹣；

（2）∵FE⊥CE，

∴∠CEF=90°，

∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，

∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，

∴△FEB≌△ECD，

∴BF=DE=2﹣；

（3）延長GE交AB于F，

由（2）知：DE=BF=2﹣，

由（1）知：BE=BC=，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，

∴△DGE∽△BFE，

∴=，

∴=，

解得：DG=3﹣4．