Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC， ，BC=4，DC=3，AD=6.動點P從點D出發，沿射線DA的方向,在射線DA上以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D,C同時出發,當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動.設運動的時間為t(秒).

(1)設的面積為，直接寫出與之間的函數關系式是____________（不寫取值范圍）.

(2)當B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求出此時的值.

(3)當線段PQ與線段AB相交于點O，且2OA=OB時，直接寫出=_____________.

(4)是否存在時刻，使得若存在，求出的值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）；（4）

【解析】試題分析：

（1）由題意可得BQ=BC-CQ=4-t，點P到BC的距離=CD=3，由此結合三角形的面積公式即可得到S與t之間的函數關系式；

（2）過點P作PH⊥BC于點H，結合勾股定理和已知條件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代數式表達出來，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三種情況列出方程，解方程得到對應的t的值，再結合題中的條件檢驗即可得到符合要求的t的值；

（3）如圖2，過點P作PM⊥BC交CB的延長線于點M，易證得四邊形PMCD是矩形，由此可得PM=CD=3，CM=PD=2t，結合AD=6，BC=4，可得PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=t，由AD∥BC可得△OAP∽△OBQ，結合2OA=OB即可求得t的值，從而可由tan∠BQP=求得其值；

（4）如圖3，過點D作DM∥PQ交BC的延長線于點M，則當∠BDM=90°時，PQ⊥BD，即當BM2=DM2+BD2時，PQ⊥BD，由此結合已知條件把DM2、BM2和BD2用含“t”的式子表達出來，列出方程就可得解得t的值.

試題解析：

（1）由題意可得BQ=BC-CQ=4-t，點P到BC的距離=CD=3，

∴S△PBQ=BQ×3=；

（2）如下圖，過點P作PH⊥BC于點H，

∴∠PHB=∠PHQ=90°，

∵∠C=90°，AD∥BC，

∴∠CDP=90°，

∴四邊形PHCD是矩形，

∴PH=CD=3，HC=PD=2t，

∵CQ=t，BC=4，

∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，

∴BQ2=，BP2= ，PQ2=，

由BQ2=BP2可得： ，解得：無解；

由BQ2=PQ2可得： ，解得： ；

由BP2= PQ2可得： ，解得： 或，

∵當時，BQ=4-4=0，不符合題意，

∴綜上所述， 或；

（3）如圖2，過點P作PM⊥BC交CB的延長線于點M，

∴∠PMC=∠C=90°，

∵AD∥BC，

∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，

∴四邊形PMCD是矩形， ，

∴PM=CD=3，CM=PD=2t，

∵AD=6，BC=4，CQ=t，

∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,

∴，解得： ，

∴MQ= ，

又∵PM=3，∠PMQ=90°，

∴tan∠BPQ=；

（4）如圖3，過點D作DM∥PQ交BC的延長線于點M，則當∠BDM=90°時，PQ⊥BD，即當BM2=DM2+BD2時，PQ⊥BD，

∵AD∥BC，DM∥PQ，

∴四邊形PQMD是平行四邊形，

∴QM=PD=2t，

∵QC=t,

∴CM=QM-QC=t，

∵∠BCD=∠MCD=90°，

∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，

∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，

∴由BM2=BD2+DM2可得： ，解得： ，

∴當時，∠BDM=90°，

即當時，PQ⊥BD.