Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連結BF交AC于點M，連結DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，則下列結論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結論的個數是（　　）
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正確；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
易得OB⊥EF，
∴△OMB≌△OEB，
∴△EOB≌△CMB，
故②正確；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，
故③正確；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，
故④錯誤；
所以其中正確結論的個數為3個；
故選B

①利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論；
②證△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；
③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF，再證DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；
④由②可知△BCM≌△BEO，則面積相等，△AOE和△BEO屬于等高的兩個三角形，其面積比就等于兩底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出BE=2OE=2AE，得出結論S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．
本題綜合性比較強，既考查了矩形的性質、等腰三角形的性質，又考查了全等三角形的性質和判定，及線段垂直平分線的性質，內容雖多，但不復雜；看似一個選擇題，其實相當于四個證明題，屬于常考題型．