Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象與x軸交A，B兩點，與y軸交于點C，直線y＝﹣2x﹣6經過點A，C．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）點P為第三象限內拋物線上的一個動點，△APC的面積為S，試求S的最大值；

（3）若P為拋物線的頂點，且直角三角形APQ的直角頂點Q在y軸上，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x2+4x﹣6；（2）；（3）點Q的坐標為（0，﹣4+）或（0，﹣4﹣）．

【解析】

（1）先利用直線與坐標軸相交求得A、C坐標，再代入解析式求出a、c的值即可得；

（2）過點P作x軸的垂線與AC交于點H，設點P的橫坐標為m，得HP＝﹣2m2﹣6m，再根據S＝S△APC＝S△APH+S△CPH列出關于m的函數解析式，依據二次函數的性質求解可得；

（3）作PD⊥y軸，設OQ＝m，知OD＝8，PD＝1，QD＝8﹣m，證△AOQ∽△QDP得，即，解之求出m的值可得答案．

解：（1）當 x＝0 時，y＝﹣2x﹣6＝﹣6，則 C（0，﹣6），

當 y＝0 時，﹣2x﹣6＝0，

解得 x＝﹣3，則 A（﹣3，0），

把 A（﹣3，0），C（0，﹣6）代入y＝ax2+4x+c，得，

解得：，

∴拋物線解析式為y＝2x2+4x﹣6；

（2）如圖1，過點P作x軸的垂線與AC交于點H．

設點P的橫坐標為m，

由直線AC：y＝﹣2x﹣6，可得H（m，﹣2m﹣6）．

又因為P（m，2m2+4m﹣6），所以HP＝﹣2m2﹣6m．

因為△PAH 與△PCH 有公共底邊HP，高的和為A、C 兩點間的水平距離3，

所以S＝S△APC＝S△APH+S△CPH＝（﹣2m2﹣6m）＝﹣3（m+）2+，

∴當m＝時，S取得最大值，最大值為；

（3）如圖2，過點P作PD⊥y軸于點D，設OQ＝m，

則∠AOQ＝∠PDQ＝90°，

∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，

∴P（﹣1，﹣8），

則OD＝8，PD＝1，QD＝8﹣m，

∵A（﹣3，0），

∴OA＝3，

∵∠AQP＝90°，

∴∠AQO+∠PQD＝90°，

∵∠AQO+∠QAO＝90°，

∴∠QAO＝∠PQD，

∴△AOQ∽△QDP，

∴，即，

解得：m＝4±，

∴點Q的坐標為（0，﹣4+）或（0，﹣4﹣）．