Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D．
①在圖甲中，證明：PC=PD；
②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=

3

2

PD，求△POD與△PDG的面積之比；
（2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，使以P，D，E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長．

Answer 1

分析：（1）①可通過構建全等三角形來求解；②可根據相似比來求面積比．
（2）分兩種情況進行討論：①當C在OA上上時；②當C在OA延長線上時；

解答：解：（1）①證明：過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分線
∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN
∴PC=PD
②∵PC=PD
∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°
∴∠PDG=∠POD
∵∠GPD=∠DPO
∴△POD∽△PDG
∴

S△POD

S△PDG

=(

PD

PG

)2=

4

3

．

（2）①若PC與邊OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO
令△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=

1

2

ED=OD=1
②若PC與邊OA的反向延長線相交
過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，
∵∠PED＞∠EDC
令△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°
∴OP=OC．設OP=x，則OH=ON=

2

2

x
∴HC=DN=OD-ON=1-

2

2

x
∵HC=HO+OC=

2

2

x+x
∴1-

2

2

x=

2

2

x+x
∴x=

2

-1
即OP=

2

-1

點評：本題主要考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定和性質等知識點，根據三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關系是解題的關鍵．