Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，以點為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點，與軸相交于點．

（1）若拋物線經過兩點，求拋物線的解析式，并判斷點是否在該拋物線上．

（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點，使得的周長最小．

（3）設為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)存在，理由見解析.

【解析】

試題（1）由已知條件先求出C，D兩點的坐標，再把其橫縱坐標分別代入拋物線的解析式求出b，c，再將點B坐標代入檢驗即可；（2）BD的長為定值，所以要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小，連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點；（3）設Q（，t）為拋物線對稱軸x=

上一點，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，再分①當點M在對稱軸的左側時和①當點M在對稱軸的右側時，討論即可.

試題解析：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0），B（，0）.

又在Rt△AOD中，OA=，∴OD=. ∴D.

又∵D，C兩點在拋物線上，∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

又∵當時，，

∴點B（，0）在該拋物線上.

（2）∵，∴拋物線的對稱軸方程為：x=.

∵BD的長為定值，∴要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小.

連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△FBD周長最小的點，

設直線DC的解析式為y=mx+n，，解得.

∴直線DC的解析式為.

在中令x=得y=. ∴P的坐標為.

（3）存在，

設Q（，t）為拋物線對稱軸x=上一點，M在拋物線上，

要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，且點M在對稱軸的左側，

過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x，t），由BC=QM得QM=4，從而x=，t=12.

故在拋物線上存在點M（，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形.