Question

【題目】如圖，已知 AB 是⊙O 的直徑，點 C、D 在⊙O 上，過 D 點作 PF∥AC交⊙O 于 F，交 AB 于點 E，∠BPF=∠ADC

（1）求證：AEEB=DEEF．

（2）求證：BP 是⊙O 的切線：

（3）當的半徑為，AC=2，BE=1 時，求 BP 的長，

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．（3）2．

【解析】

試題（1）根據圓周角定理得出∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，進而得出∠PEB+∠BPF=90°，從而證得PB是O的切線；

（2）證得△AEF∽△DEB，從而得出，即可證得AEEB=DEEF；

（3）先根據勾股定理求得BC的長，進而根據△ABC∽△EPB，對應邊成比例即可求得BP的長．

試題解析：（1）證明：連結BC，

∵AB是O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

又∵∠ABC=∠ADC，∠ADC=∠BPF，

∵PF∥AC，

∴∠CAB=∠PEB，

∴∠PEB+∠BPF=90°，

∴PB⊥AB，

∴PB是O的切線；

（2）連結AF、BD．

在△AEF和△DEB中，

∠AEF=∠DEB．∠AFE=∠DBE，

∴△AEF∽△DEB，

∴，即AEEB=DEEF；

（3）在Rt△ABC中，BC2=（2）2-22

∴BC=4，

在Rt△ABC和Rt△EPB中，

∠ABC=∠ADC=∠BPF，

∴△ABC∽△EPB，

∴，

∴BP==2．