Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF＝∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD的長；

（3）試探究FB、FD、FA之間的關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3），見解析.

【解析】

（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

（2）運用三角函數解直角三角形，并用勾股定理求出AD.
（3）利用已知條件證得△ABF∽△BDF，就可以得出三條線段F之間的關系．

解：(1)證明：連結.

∵是的直徑

∴

∴

∵ ∴

∵∴

∴,即

∴

∴直線是的切線.

（2）連接，則為直角三角形.

∴ ∴

由勾股定理可得;

（3）

證明：∵

∴

∴

∴