Question

【題目】如圖①所示，已知A、B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD1⊥l于點D1，過點E作EE1⊥l于點E1．

（1）如圖②，當點E恰好在直線l上時（此時E1與E重合），試說明DD1=AB；

（2）在圖①中，當D、E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖③，當點E在直線l的下方時，請直接寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數量關系．（不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）AB=DD1+EE1；（3）AB=DD1-EE1．

【解析】試題分析：（1）由四邊形CADF、CBEG是正方形可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS證得△ADD1≌△CAB，根據全等三角形的對應邊相等，即可得DD1=AB；

（2）首先過點C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS證得△ADD1≌△CAH，根據全等三角形的對應邊相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，則可得AB=DD1+EE1；

（3）證明方法同（2），即可得到AB=DD1-EE1．

試題解析：（1）因為四邊形CADF、CBEG是正方形，

所以AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

所以∠DAD1+∠CAB=90°，

因為DD1⊥AB，

所以∠DD1A=∠ABC=90°，

所以∠DAD1+∠ADD1=90°，

所以∠ADD1=∠CAB，

在△ADD1和△CAB中，

∠ADD1=∠CAB，∠DD1A=∠ABC ，AD=CA，

所以△ADD1≌△CAB，

所以DD1=AB；

（2）AB=DD1+EE1，理由如下：

過點C作CH⊥AB于H ，與（1）同理，△ADD1≌△CAH，所以DD1=AH，同理EE1=BH，所以AB=DD1+EE1；

（3）AB=DD1-EE1，理由如下：

過點C作CH⊥AB于H ，與（1）同理，△ADD1≌△CAH，所以DD1=AH，同理EE1=BH，所以AB=DD1-EE1．