Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在學習了《勾股定理》和《實數》后，某班同學以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數學活動.

操作發現

“畢達哥拉斯”小組的同學想到借助正方形網格解決問題.如圖1是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.在圖1中畫出△ABC，其頂點A，B，C都是格點，同時構造正方形BDEF，使它的頂點都在格點上，且它的邊DE，EF分別經過點C、A，他們借助此圖求出了△ABC的面積.

（1）在圖1中，所畫的△ABC的三邊長分別是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面積為 .

實踐探究

（2）在圖2所示的正方形網格中畫出△DEF（頂點都在格點上），使DE=，DF=， EF=，并寫出△DEF的面積.

繼續探究

“秦九韶”小組的同學想到借助曾經閱讀的數學資料： 已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積，對此問題中外數學家曾經進行過深入研究.古希臘的幾何學家海倫(Heron，約公元50年），在他的著作《度量》一書中，給出了求其面積的海倫公式：

我國南宋時期數學家秦九韶（約1202 ~1261），給出了著名的秦九韶公式：

（3）一個三角形的三邊長依次為，，，請你從上述材料中選用適當的公式 求這個三角形的面積.（寫出計算過程）

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）圖見解析；△DEF的面積為4；（3）.

【解析】

（1）利用勾股定理計算△ABC的三邊長；利用△ABC所在正方形的面積減去周圍直角三角形的面積可求其面積；

（2）仿照“畢達哥拉斯”小組的方法利用勾股定理在正方形網格中畫出△DEF，并利用割補法求其面積即可；

（3）利用秦九韶公式，代入求值即可.

解：（1），，，

△ABC的面積＝，

故答案為：，，，；

（2）△DEF如圖所示，

△DEF的面積＝；

（3）將，，代入秦九韶公式，

得

.