Question

【題目】如圖，E，F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOF其中正確的結論是（ ）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據正方形的性質得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，則由CE=DF易得AF=DE，根據“SAS”可判斷△ABF≌△DAE，所以AE=BF；

根據全等的性質得∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，則AE⊥BF；

連結BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根據垂直平分線的性質得到OA≠OE；

最后根據△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，則S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四邊形DEOF．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，

∴AF=DE，

在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，故①正確；

∴∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，

∴∠CEA=∠DFB，而∠EAD+∠EAB=90°，

∴∠ABF+∠EAB=90°，

∴∠AOB=90°，

∴AE⊥BF，故②正確；

連結BE，

∵BE＞BC，

∴BA≠BE，而BO⊥AE，

∴OA≠OE，故③錯誤；

∵△ABF≌△DAE，

∴S△ABF=S△DAE，

∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，

∴S△AOB=S四邊形DEOF，故④正確．

故選：A．