Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判斷直線BD和⊙O的位置關系，并給出證明；

（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）答：BD和⊙O相切.

證明：∵OD⊥BC,

∴∠OFB=∠BFD =90°,

∴∠D+∠3=90°.

∵∠4=∠D=∠2,　　　　　……………………………1分

∴∠2+∠3=90°,

∴∠OBD=90°,

即OB⊥BD.

∵點B在⊙O上，

∴BD和⊙O相切. ……………………………2分

(2) ∵OD⊥BC,BC=8,

∴BF="FC=4. " ……………………………3分

∵ AB=10,

∴OB=OA=5.

在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,

∵OB=5,BF=4,

∴OF="3. " ……………………………4分

∴tan∠1=.

在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,

∵tan∠1=, OB=5,

∴. …………………………… 5分

【解析】試題分析：（1）因為同弧所對的圓周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，則有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD為切線．

（2）連接AC，由于AB為直徑，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根據對應線段成比例求出BD．

試題解析：（1）答：BD和⊙O相切．

證明：∵OD⊥BC,

∴∠OFB=∠BFD=90°,

∴∠D+∠3=90°．

∵∠4=∠D=∠2,

∴∠2+∠3=90°,

∴∠OBD=90°,

即OB⊥BD．

∵點B在⊙O上，

∴BD和⊙O相切．

（2）∵OD⊥BC,BC=8,

∴BF="FC=4"

∵AB=10,

∴OB=OA=5．

在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,

∵OB=5,BF=4,

∴OF=3．

∴tan∠1=．

在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,

∵tan∠1=, OB=5,

∴．