Question

【題目】如圖1，是等邊三角形內一點，，連結.

（1）求的度數

（2）如圖2，以為斜邊在外作等腰直角，連結

①請判斷的形狀，并說明理由

②若，求點到的距離

Answer 1

【答案】（1）30° （2）①見詳解 ②到的距離為

【解析】

（ 1）依據題意先求出△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD，即可求出；

（2）①求出△BCD≌△BAE(ASA)，得到△BDE為等邊三角形，求出∠AED的度數，即可判斷出三角形的形狀.

②延長AD與BC交于F點，過E點作EG⊥AD于G，由題意求出ED的值，再通過AF是等邊三角形ABC的高，求出GD的值，利用勾股定理求出EG即可.

解：（ 1）∵△ABC為等邊三角形

∴AB=AC ∠BAC=60°

∵DB=DC AD為△ABD和△ACD公共邊

∴ △ABD≌△ACD（SSS）

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°

（2）①∵△BDC和△ABE都是等腰直角三角形

∴，

∵AB=AC

∴△BCD≌△BAE(ASA)

∴EB=BD

∵

∴△BDE為等邊三角形

∴EB=ED=EA

∴△ADE為等腰三角形

②如圖

延長AD與BC交于F點，過E點作EG⊥AD于G

∵∠BAD=∠CAD

∴AD為∠BAC的角平分線，AF時期延長線

∴AF是∠BAC的角平分線

∵△ABC是等邊三角形，三線合一

∴AF⊥BC

∵AB=AC=4 ，∠BAD=30°， △BCD為等腰直角三角形

∴AF=，DF=2，BD=ED=

∴AD=-2

∵△ADE為等腰三角形，EG⊥AD

∴AG=GD=AD=

根據勾股定理得：

=

到的距離

故答案為：（1）30° （2）①見詳解 ②到的距離為