Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A，B．

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．

①點M在線段OA上運動，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；

②點M在x軸上自由運動，若三個點M，P，N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”．請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的m的值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；(2)①點M的坐標為（2.5，0）或（，0）；②m的值為或﹣1或﹣．

【解析】試題分析：（1）把A點坐標代入直線解析式可求得c，則可求得B點坐標，由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①由M點坐標可表示P、N的坐標，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長，分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質可得到關于m的方程，可求得m的值；

②用m可表示出M、P、N的坐標，由題意可知有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，可分別得到關于m的方程，可求得m的值．

試題解析：解：

（1）∵與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵拋物線經過點A，B，∴，解得： ，∴拋物線解析式為；

（2）①由（1）可知直線解析式為，∵M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，∴P（m， ），N（m， ），∴PM=，PA=3﹣m，PN=﹣（）=，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，分兩種情況：

當∠BNP=90°時，則有BN⊥MN，∴點N的縱坐標為2，∴ =2，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；

當∠NBP=90°時，則有，∵A（3，0），B（0，2），P（m， ），∴BP== ，AP= =（3﹣m），∴，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；

綜上可知當以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似時，點M的坐標為（，0）或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m， ），N（m， ），∵M，P，N三點為“共諧點”，∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，當P為線段MN的中點時，則有2（）=，解得m=3（三點重合，舍去）或m=；

當M為線段PN的中點時，則有+（）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

當N為線段PM的中點時，則有=2（），解得m=3（舍去）或m=；

綜上可知當M，P，N三點成為“共諧點”時m的值為或﹣1或．