Question

【題目】已知如圖，三點在同一直線上，.

（1）已知點在直線上，根據條件，請補充完整圖形，并求的長；

（2）已知點在直線上，分別是，的中點，根據條件，請補充完整圖形，并求的長，直接寫出與的長存在的數量關系；

（3）已知點在直線上，分別是，的中點，根據條件，請補充完整圖形，并求的長，直接寫出與的長存在的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；AC=4或8；（2）圖見解析；MN=2或4；MN=；（3）MN=3；MN=.

【解析】

（1）根據點C的位置有兩種情況分類討論，①當點C在點B的左側時，易求此時AC的長；②當點C在點B的右側時，易求此時AC的長；

（2）①當點C在點B的左側時，根據中點的定義，可得：MB=，NB=，從而求出MN與AC的長度關系，再根據（1）中此時AC的長，即可求出MN的長；②當點C在點B的右側時，原理同上；

（3）①當點C在點B的左側時，根據中點的定義，可得：MC=，CN=，從而求出MN與AB的長度關系，即可求出MN；②當點C在點B的右側時，原理同上.

解：（1）根據題意，點C的位置有兩種情況

①當點C在點B的左側時，補全圖形如下所示

∵，

∴AC=AB－BC=4；

②當點C在點B的右側時，補全圖形如下所示

∵，

∴AC=AB＋BC=8.

綜上所述：AC=4或8；

（2）①當點C在點B的左側時，補全圖形如下所示

∵分別是，的中點，

∴MB=，NB=

∴MN=MB－NB=－===

由（1）可知：此時AC=4

∴MN==2；

②當點C在點B的右側時，補全圖形如下所示

∵分別是，的中點，

∴MB=，NB=

∴MN=MB+NB=+===

由（1）可知：此時AC=8

∴MN==4；

綜上所述：MN=2或4；MN=；

（3）①當點C在點B的左側時，補全圖形如下所示

∵分別是，的中點，

∴MC=，CN=

∴MN=MC+ CN =+====3；

②當點C在點B的右側時，補全圖形如下所示

∵分別是，的中點，

∴MC=，CN=

∴MN=MC－ CN =－====3；

綜上所述：MN=3；MN=.