Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A是雙曲線在第一象限的分支上的一個動點，連接AO并延長與這個雙曲線的另一分支交于點B，以AB為底邊作等腰直角三角形ABC，使得點C位于第四象限。

（1）點C與原點O的最短距離是________；

（2）沒點C的坐標為（，點A在運動的過程中，y隨x的變化而變化，y關于x的函數關系式為________。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先根據反比例函數的對稱性及等腰直角三角形的性質可得OC=OA=OB，利用勾股定理求出AO的長為，再配方得，根據非負性即可求出OA的最小值，進而即可求解；

（2）先證明△AOD≌△COE可得AD=CE，OD=OE，然后根據點C的坐標表示出A的坐標，再由反比例函數的圖象與性質即可求出y與x 的函數解析式.

解：（1）連接OC，過點A作AD⊥y軸，如圖，

，
∵A是雙曲線在第一象限的分支上的一個動點，延長AO交另一分支于點B，

∴OA=OB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，

∴當OA的長最短時，OC的長為點C與原點O的最短距離，

設A（m，），

∴AD=m，OD=，

∴OA===，

∵，

∴當時，OA=為最小值，

∴點C與原點O的最短距離為.

故答案為；

（2）過點C作x軸的垂線，垂足為E，如上圖，

∴∠ADO=∠CEO=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，OC⊥AB，

∴∠COE+∠AOE=90°，

∵∠AOD+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠COE，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴AD=CE，OD=OE，

∵點C的坐標為(x，y)(x＞0)，

∴OE=x，CE=-y，

∴OD=x，AD=-y，

∴點A的坐標為（-y，x），

∵A是雙曲線第一象限的一點，

∴，即，

∴y關于x的函數關系式為（x>0）.

故答案為（x>0）.