Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－2ax＋3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C，點A的坐標為(－1,0)，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）填空：a＝ ，點B的坐標是 ；

（2）連結BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當△MNF的周長取得最大值時，求FP＋PC的最小值；

（3）在（2）中，當△MNF的周長取得最大值時，FP＋PC取得最小值時，如圖2，把點P向下平移個單位得到點Q，連結AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標軸于點G．在旋轉過程中，是否存在一點G，使得GQ′＝OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），(3,0)；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）將點A的坐標代入拋物線的表達式中可求出a，令y＝0可求出點B的坐標；

（2）通過配方法求出點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的表達式，設點，，利用等角的三角函數值相等求出，利用二次函數的性質可求出使△MNF的周長取得最大值時的m值，在x軸上取點，過F作CK的垂線段FG交y軸于點P，可得(FP＋PC )min＝FG，連接FC，FK，FK交y軸與點J，利用的面積計算求出FG；

（3）由（2）求出點Q的坐標，取AQ的中點G，△AOQ在旋轉過程中，只需使AQ的中點G在坐標軸上即可滿足GQ′＝OG，分四種情況進行求解．

解：（1）將點A(－1,0) 代入y＝ax2－2ax＋3中得，，

解得，，即y＝－x2＋2x＋3，

當y＝0時，－x2＋2x＋3＝0，

解得，，，

∴點B的坐標是(3,0)，

故答案為：－1，(3,0)；

（2）∵，

∴點D(1,4)，點C(0,3)，

設直線BD的表達式為，且經過點B(3,0)，點D(1,4)，

∴，

解得，，

∴，

設點，，

由圖形可知，，

∵，，

∴，

∴，

，

，

，

∴當m＝2時，C△MNF最大，此時F(2,2)，HF＝2，

在x軸上取點，則∠OCK＝30°，過F作CK的垂線段FG交y軸于點P，此時，

∴(FP＋PC )min＝(FP＋PG)min＝FG，

連接FC，FK，FK交y軸與點J，

由點，點F(2,2)可求直線FK的表達式為，

∴點，，，

∴，即，

解得，，

∴當△MNF的周長取得最大值時，FP＋PC的最小值為；

（3）存在，

由（2）可知，，即點，

∵將點P向下平移個單位得到點Q，

∴點Q(0,2)，

在Rt△AOQ中，，，則，

取AQ的中點G，則有，

∴△AOQ在旋轉過程中，只需使AQ的中點G在坐標軸上即可滿足GQ′＝OG，

如圖所示，當點G在y軸正半軸上時，過點Q′作Q′I⊥x軸，垂足為I，

∵∠GOQ'＝∠GQ'O，

∵，

∴∠GOQ'＝∠IQ'O，

∴∠IQ'O＝∠GQ'O，

∴設，

∴，

∴，即點，

同理可知，當點G在x軸正半軸上時，點，

當點G在y軸負半軸上時，點，

當點G在x軸負半軸上時，點，

綜上，點Q′的坐標為，，，．