Question

【題目】如圖，在四邊形紙片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，點 E，F 分別在邊 BC，CD 上，將 AB，AD 分別沿 AE，AF 折疊，點 B，D 恰好都和點 G 重合，∠EAF＝45°．

（1）求證：四邊形 ABCD 是正方形；

（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB=．

【解析】

(1)由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四邊形ABCD是矩形，根據正方形的判定定理即可得到結論；

(2)根據EC=FC=1，得到BE=DF，根據勾股定理得到EF的長，即可求解．

(1)由折疊性質知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，

∵∠EAF=45°,

∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，

又∵∠B=∠D=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

由折疊性質知：AB=AG，AD=AG，

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD是正方形；

(2)∵EC=FC=1，

∴BE=DF，EF=，

∵EF=EG+GF=BE+DF，

∴BE=DF=EF=，

∴AB=BC=BE+EC=．