Question

如圖，⊙O的弦AD∥BC，過點D的切線交BC的延長線于點E，AC∥DE交BD于點H，DO及延長線分別交AC、BC于點G、F．
（1）求證：DF垂直平分AC；
（2）求證：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵DE是⊙O的切線，且DF過圓心O，
∴DF是⊙O的直徑所在的直線，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G為AC的中點，即DF平分AC，則DF垂直平分AC；（2分）

（2）證明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）

（3）連接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD²=AD²-AG²=5²-4²=9，
∴GD=3；（6分）
設圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO²=OG²+AG²，
有：r²=（r-3）²+4²，
解得r=

25

6

，（8分）
∴⊙O的半徑為

25

6

cm．