Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．

（1）判斷直線(xiàn)AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)BD=6，AB=10時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC與⊙O相切．理由如下：

連結(jié)OE，如圖，

∵BE平分∠ABD，

∴∠OBE=∠DBO，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠DBO，

∴OE∥BD，

∵AB=BC，D是AC中點(diǎn)，

∴BD⊥AC，

∴OE⊥AC，

∴AC與⊙O相切；

（2）解：設(shè)⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，

由（1）知，OE∥BD，

∴△AOE∽△ABD，

∴ ，即 ，

∴r= ，

即⊙O半徑是 ．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到對(duì)邊對(duì)等角，由角平分線(xiàn)的定義得到內(nèi)錯(cuò)角相等，得到OE∥BD，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一得到BD⊥AC，得到AC與⊙O相切；（2）根據(jù)（1）知，OE∥BD，得到△AOE∽△ABD，得到比例，求出⊙O的半徑.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線(xiàn)的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線(xiàn)的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．