Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為（　　）

A. B. C. 1 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，利用等腰直角三角形的性質得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再證明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接著利用△APE和△BFQ都為等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=，即可判定點M到AB的距離為，從而得到點M的運動路線為△ABC的中位線，最后利用三角形中位線性質得到點M所經過的路線長．

連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，

∵△ACB為到等腰直角三角形，

∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，

∵O為AB的中點，

∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，

∴∠OCB=45°，

∵∠POQ=90°，∠COA=90°，

∴∠AOP=∠COQ，

在Rt△AOP和△COQ中

，

∴Rt△AOP≌△COQ，

∴AP=CQ，

易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，

∴PE=AP=CQ，QF=BQ，

∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，

∵M點為PQ的中點，

∴MH為梯形PEFQ的中位線，

∴MH=（PE+QF）=，

即點M到AB的距離為，

而CO=1，

∴點M的運動路線為△ABC的中位線，

∴當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長=AB=1，

故選C．