Question

【題目】已知拋物線l1：y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），與y軸交于點C，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（4，0），與y軸交于點D（0，﹣2）．

（1）求拋物線l2的解析式；
（2）點P為線段AB上一動點（不與A、B重合），過點P作y軸的平行線交拋物線l1于點M，交拋物線l2于點N．
①當四邊形AMBN的面積最大時，求點P的坐標；
②當CM=DN≠0時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

設拋物線l2的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

∵將D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，

∴a= ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2

（2）解：①如圖1所示：

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4．

設P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．

∵MN⊥AB，

∴SAMBN= ABMN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）．

∴當x= 時，SAMBN有最大值．

∴此時P的坐標為（ ，0）．

②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN，

∴四邊形CDNM為等腰梯形．

∴∠DNH=∠CMG．

在△CGM和△DNH中 ，

∴△CGM≌△DNH．

∴MG=HN．

∴PM﹣PN=1．

設P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．

∴（﹣x2+2x+3）+（ x2﹣ x﹣2）=1，解得：x1=0（舍去），x2=1．

∴P（1，0）．

當CM∥DN時，如圖3所示：

∵DC∥MN，CM∥DN，

∴四邊形CDNM為平行四邊形．

∴DC=MN=5

∴﹣x2+2x+3﹣（ x2﹣ x﹣2）=5，

∴x1=0（舍去），x2= ，

∴P（ ，0）．

總上所述P點坐標為（1，0），或（ ，0）

【解析】根據二次函數y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），得到﹣x2+2x+3=0，求出A（﹣1，0），B（3，0），根據拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（4，0），與y軸交于點D（0，﹣2），得到拋物線的解析式；（2）①由AB=4，MN⊥AB，得到SAMBN= ABMN，此時P的坐標為（ ，0）；②如圖2所示，如果CM與DN不平行，由DC∥MN，CM=DN，得到四邊形CDNM為等腰梯形，△CGM≌△DNH，PM﹣PN=1，得到P（1，0）；當CM∥DN時，如圖3所示，得到四邊形CDNM為平行四邊形，DC=MN=5，得到P（，0）；總上所述P點坐標為（1，0），或（ ，0）；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.