Question

【題目】已知：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于AB兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．

（1）填空：b＝　 　，c＝　 　；

（2）在圖1中，若點(diǎn)M為拋物線上第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，順次連接AC，CM，MB，求四邊形ACMB面積的最大值；

（3）在圖2中，將直線BC沿x軸翻折交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B的直線與拋物線相交于點(diǎn)D．若∠NBD＝∠OCA，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣3，12）．

【解析】

（1）由A（1，0）與OC＝3OA求點(diǎn)C坐標(biāo)，把點(diǎn)A、C代入用待定系數(shù)法求拋物線解析式，即求得b、c的值．

（2）連接BC，把四邊形ACMB分成△ABC與△BCM．求點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而求△ABC面積和直線BC解析式．設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，用m表示EM的長．把△BCM分成△BEM與△CEM求面積和，得到關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，配方即得到△BCM面積最大值，進(jìn)而求得四邊形ACMB面積的最大值．

（3）由OC＝3OA求得tan∠OCA的值，求點(diǎn)N坐標(biāo)和BN的長．過點(diǎn)N作GN⊥BN，根據(jù)∠NBD＝∠OCA可得tan∠NBD＝，即求得NG的長，進(jìn)而用勾股定理求得BN的長．設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為（s，t），用s、t表示NG2，BG2的值，即列得關(guān)于s、t的方程組，求解得兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)G．求直線BG解析式，與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)D坐標(biāo)．

解：（1）∵A（﹣1，0）

∴OA＝1

∴OC＝3OA＝3

∴C（0，﹣3）

∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C

∴ 解得：

故答案為：﹣2，﹣3．

（2）如圖1，連接BC，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E

∵拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3

∴當(dāng)x2﹣2x﹣3＝0時(shí)，解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴B（3，0），AB＝3﹣（﹣1）＝4

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6

設(shè)直線BC解析式為：y＝kx﹣3

把點(diǎn)B代入得：3k﹣3＝0，解得：k＝1

∴直線BC：y＝x﹣3

∵點(diǎn)M為拋物線上第四象限內(nèi)的點(diǎn)

∴設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3）

∴EM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+

∴S△BCM＝S△BEM+S△CEM

＝EMBF+EMOF

＝EM（BF+OF）

＝EMOB

＝[﹣（m﹣）2+]

＝﹣（m﹣）2+

∴S四邊形ACMB＝S△ABC+S△BCM＝6﹣（m﹣）2+＝﹣（m﹣）2+

∴四邊形ACMB面積的最大值為．

（3）過點(diǎn)N作NG⊥BN，交直線BD于點(diǎn)G

∴∠BNG＝∠AOC＝90°

∵OC＝3OA

∴Rt△AOC中，tan∠OCA＝

∵∠NBD＝∠OCA

∴tan∠NBD＝tan∠OCA＝

∴Rt△BNG中，tan∠NBD＝

∵B（3，0），C（0，﹣3），將直線BC沿x軸翻折交y軸于點(diǎn)N

∴N（0，3）

∴BN＝

∴NG＝BN＝

∴BG＝

設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為（s，t）

∴NG2＝s2+（t﹣3）2，BG2＝（3﹣s）2+t2

∴解得：,

∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（﹣1，2）或（1，4）

①G（﹣1，2），設(shè)直線BG解析式為y＝ax+g

∴ 解得：

∴直線BG：y＝﹣x+

∵ 解得：,（即點(diǎn)B）

∴D（﹣，）

②G（1，4），設(shè)設(shè)直線BG解析式為y＝px+q

∴ 解得：

∴直線BG：y＝-2x+6

∵ 解得：,（即點(diǎn)B）

∴D （﹣3，12）

綜上所述，若∠NBD＝∠OCA/span>，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣3，12）．