Question

【題目】如圖，的半徑為2．弦，點為優弧上一動點，交直線于點，則的最大面積是__________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連結OA、OB，如圖1，由OA=OB=AB=2可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據圓周角定理得，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因為AB=2，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°，可根據圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB=120°，如圖2，于是當點C優弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．

連結OA、OB，作△ABC的外接圓D，如圖1，2

∵OA=OB=2，AB=2，

∴△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴，

∵AC⊥AP，

∴∠C=60°，

∵AB=2，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，

∵∠ACB=60°，點C在⊙D上，

∴∠ADB=120°，

如圖2，

當點C為優弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為，

∴△ABC的最大面積為．

故答案為：．