Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為菱形，點A，B的坐標分別為（3，0）、（0，4），動點M從點B出發，以每秒1個單位的速度沿BA向終點A運動，連接MO并延長交CD于點N，過點N作NP⊥BD，交BD于點P，連接MP，當動點M運動了t秒時．
（1）N點的坐標為

 

，P點的坐標為

 

（用含t的代數式表示）；
（2）記△MNP的面積為S，求S與t的函數關系式（0＜t＜5），并求出當t取何值時，S有最大值，最大值是多少？
（3）在M出發的同時，有一動點Q從A點開始在線段AO上以每秒

1

2

個單位長度的速度向點O移動，試求當t為何值時，△AMQ與△AOB相似．

Answer 1

分析：（1）本題關鍵是求N的坐標，有了N的坐標也就求出了P的坐標，我們不難發現M，N關于原點對稱，因此只要求出M的坐標就求出了N的坐標，我們看M的坐標，我們知道M的速度，可以用時間t表示出BM的長，那么OB-BM•sin∠BAC就是M的縱坐標，BM•sin∠ABP就是M的橫坐標，∠BAC和∠ABP的正弦值可以在△AOB中求出因此就能求出M、N、P的坐標了；
（2）可以把NP當做△MNP的底邊，那么它的長度就是N點橫坐標的絕對值，而NP邊上的高就是M、P縱坐標的差的絕對值，因此可根據三角形的面積公式得出關于S，t的函數關系式；
（3）要分情況討論：因為兩個三角形公用了∠BAO因此只要看看另外的△MQA中另外的兩個角哪個當直角就可以了，可根據三角形相似得出線段的比例來求解．

解答：解：（1）由圖可得OB-BM•sin∠BAC就是M的縱坐標，BM•sin∠ABP就是M的橫坐標，
于是得N（-

3

5

t，-4+

4

5

t），P（0，-4+

4

5

t）；

（2）S=

1

2

|NP|•h=

1

2

•

3

5

t•（8-

8

5

t）=-

12

25

（t-

5

2

）²+3，
t=

5

2

時，S有最大值，Smax=3；

（3）△AMQ與△AOB相似，分情況討論：
①∠MQA=90°時，則M、Q的橫坐標相等，
x_M=x_Q，x_M=

3

5

t，x_Q=3-

1

2

t，
∴t=

30

11

；
②∠QMA=90°時，由△AQM∽△AOB可得，

AM

AO

=

AQ

AB

，

5-t

3

=

1 2 t

5

，t=

50

13

；
③因為∠BAC不可能是直角，所以這種情況不存在，
∴當t為

30

11

或

50

13

時，△AMQ與△AOB相似．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，菱形的性質等知識點，要注意（3）中要根據不同的對應角來分情況進行討論．