Question

【題目】△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．

（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝62°，請說明∠DAE的度數；

（2）如圖2（∠B＜∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數量關系；

（3）如圖3，延長AC到點F，∠CAE和∠BCF的角平分線交于點G，求∠G的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE＝11°；（2）∠DAE＝（∠C﹣∠B）；說明見解析；（3）∠G＝45°．

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理，可求得∠BAC的度數，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數，所以∠DAE=∠DAC-∠EAC，即可得出；

（2）根據三角形的內角和定理，可求得∠BAC的度數，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數，所以∠DAE=∠DAC-∠EAC，即可得出；

（3）設∠ACB=α，根據角平分線的定義得到∠CAG=∠EAC=（90°-α）=45°-α，∠BCG=∠BCF=（180°-α）=90°-α，根據三角形的內角和即可得到結論．

解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠DAC＝∠BAC＝39°，

∵AE是BC邊上的高，

在直角△AEC中，

∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；

（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣（∠B+∠C），

∵AE是BC邊上的高，

在直角△AEC中，

∵∠EAC＝90°﹣∠C，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；

（3）設∠ACB＝α，

∵AE⊥BC，

∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，

∵∠CAE和∠BCF的角平分線交于點G，

∴∠CAG＝ ∠EAC＝（90°﹣α）＝45°﹣α，

∠BCG＝ ∠BCF＝（180°﹣α）＝90°﹣α，

∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°﹣α）﹣α﹣（90°﹣α）＝45°．