Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若sin∠ABC=，求tan∠BDC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）tan∠CDB=tan∠DBM===.

【解析】

試題分析：（1）先證明AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，再根據OA=OC得∠OAC=∠OCA，由此即可證明．

（2）連接BM、OC交于點N，根據sin∠ABC=sin∠BCN==，設BN=4k，BC=5k，則CN=3k，求出DM，BM，根據tan∠CDB=tan∠DBM=即可解決問題．

試題解析：（1）∵DC是⊙O切線，

∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠DAB．

（2）連接BM、OC交于點N．

∵AB是直徑，

∴∠AMB=90°，∵AD∥OC，

∴∠ONB=∠AMB=90°=∠CNB，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴sin∠ABC=sin∠BCN==，設BN=4k，BC=5k，則CN=3k，

∵∠CDM=∠DMN=∠DCN=90°，

∴四邊形DMNC是矩形，

∴DM=CN=3k，MN=BN=4k，CD∥BM，

∴∠CDB=∠DBM，

∴tan∠CDB=tan∠DBM===．