Question

【題目】當m，n是正實數，且滿足m+n=mn時，就稱點P（m， ）為“完美點”，已知點A（0，5）與點M都在直線y=-x+b上，點B，C是“完美點”，且點B在線段AM上，若MC= ，AM=4 ，求△MBC的面積．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵m+n=mn且m，n是正實數，
∴ +1=m，即 =m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美點”P在直線y=x-1上，
∵點A（0，5）在直線y=-x+b上，
∴b=5，
∴直線AM：y=-x+5，
∵“完美點”B在直線AM上，
∴由
解得 ，
∴B（3，2），
∵一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x，而直線y=x-1與直線y=x平行，直線y=-x+5與直線y=-x平行，
∴直線AM與直線y=x-1垂直，
∵點B是直線y=x-1與直線AM的交點，
∴垂足是點B，
∵點C是“完美點”，
∴點C在直線y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3 ，
∵AM=4 ，∴BM= ，
又∵CM= ，
∴BC=1，
∴S△MBC= BMBC= ．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．