Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，剪掉陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A、B、C、D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒．

（1）若折疊后長方體底面正方形的面積為1250cm2 ， 求長方體包裝盒的高；
（2）設剪掉的等腰直角三角形的直角邊長為x（cm），長方體的側面積為S（cm2），求S與x的函數關系式，并求x為何值時，S的值最大．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖

設剪掉陰影部分的每個等腰直角三角形的腰長為xcm，則NP= xcm，

DP= ，QM=PW= × ，

由題意得： ．

解得， （超過60，故不符合題意舍去），

答：長方體包裝盒的高為5 cm．

另法：∵由已知得底面正方形的邊長為 =25 ，

∴AN=25 × =25．

∴PN=60﹣25×2=10．

∴PQ=10× =5 （cm）．

答：長方體包裝盒的高為5 cm．

（2）

解：由題意得，S=4×S四邊形QPWM=4×PWQP，

∵PW= × ，QP=x，

∴ ．

∵a=﹣4＜0，

∴當x=15 時，S有最大值．

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質得出NP的長度，再利用正方形性質表示出底面正方形面積進而得出答案即可；（2）表示出長方體的側面積進而利用二次函數的最值求法得出答案．