Question

【題目】如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）求證：△ODM∽△MCN；

（2）設DM=x，求OA的長（用含x的代數式表示）；

（3）在點O的運動過程中，設△CMN的周長為P，試用含x的代數式表示P，你能發現怎樣的結論？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（0＜x＜8）（3）在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值

【解析】試題分析：（1）依題意可得∠OMC=∠MNC，然后可證得△ODM∽△MCN．
（2）設DM=x，OA=OM=R，OD=AD-OA=8-R，根據勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求證△ODM∽△MCN，利用線段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周長等于CM+CN+MN，把各個線段消去代入可求出周長．

試題解析：

（1）證明：∵MN切⊙O于點M，

∴∠OMN=90°；

∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；

∴∠OMD=∠MNC；

又∵∠D=∠C=90°；

∴△ODM∽△MCN，

（2）在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R；

∴OD=AD﹣OA=8﹣R，

由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，

∴OA=R= ;

（3）∵CM=CD﹣DM=8﹣x，

又∵OD=8-R=8-，

且有△ODM∽△MCN，

∴，

∴代入得到CN=；

同理，

∴代入得到MN= ；

∴△CMN的周長為P=CM+CN+MN=(8-x)+ =16．