Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點A，B分別在坐標軸上．

(1)如圖①，若點C的橫坐標為5，求點B的坐標.

(2)如圖②，若BC交x軸于M，過C作CD⊥BC交y軸于D . 求證：BC－CD＝MC.

(3)如圖③，若點A的坐標為(－4，0)，點B是y軸正半軸上的一個動點，分別以OB，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰Rt△OBF(∠OBF＝90°)、等腰Rt△ABE(∠ABE＝90°)，連接EF交y軸于點P，當點B在y軸上運動時，PB的長度是否發生改變？若不變，求出PB的值；若變化，求PB的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)B點坐標(0，5)；(2)證明見解析；(3)PB的長度不變，PB=2.

【解析】

（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據全等三角形對應邊相等的性質即可解題；

（2）由(1)知∠CBD=∠BAM，根據AB=BC，∠ABM=∠BCD=90°，可證△ABM≌△BCD(ASA)，可得CD=MB，由于BC-MB=MC，繼而求得BC-CD=MC；

（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=AO，即可解題．

(1)如圖1，作CD⊥BO于D，

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBD=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BDC , AB=BC

∴△ABO≌△BCD(AAS)

∴CD=BO=5，

∴B點坐標(0，5)

(2)由(1)知：∠CBD=∠BAM

又AB=BC，∠ABM=∠BCD=90°

∴△ABM≌△BCD(ASA)

∴CD=MB

∵BC-MB=MC

∴BC-CD=MC

(3)PB的長度不變，如圖3，作EG⊥y軸于G，

∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，

∴∠BAO=∠EBG，

又∠AOB＝∠BGE＝90°,AB＝BE

∴△BAO≌△EBG(AAS)，

∴BG=AO，EG=OB，

∵OB=BF，

∴BF=EG，

在△EGP和△FBP中，

,

∴△EGP≌△FBP(AAS)，

∴PB=PG，

∴PB=BG=AO=2．