Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知點A（0，4）、B（2，4）、C（4，0），動點P從點C開始沿C-O-A-B，以每秒l單位速度勻速運動（到達B點即停止運動），設P運動時間為t（s），△PBC的面積為S．
（1）求出四邊形OABC的面積；
（2）寫出S關于t函數關系式；
（3）點P在運動過程中是否存在某一時刻t，使得△PBC為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據梯形面積公式即可求出四邊形OABC的面積；
（2）分三種情況討論：①P在OC邊上；②P在OA邊上；③P在AB邊上．根據三角形面積公式得出S關于t函數關系式；
（3）根據等腰三角形的性質分三種情況討論，可以求出t的值．

解答：解：（1）由題意得，OABC為直角梯形，AO=4，AB=2，OC=4，S_梯形0ABC=

1

2

×（2+4）×4=12；

（2）當0≤t≤4時，S=2t：當4＜t≤8時，S=12-t；當8＜t＜10時，S=20-2t；

（3）存在．
①P在O點，BP=BC=2

5

，PC=4，則t=4s；
②BC的垂直平分線與y軸的交點，P在OA上，OC+OP=4.5，則t=4.5s
③C為圓心，CB長為半徑，交OA于P，根據勾股定理可知OP=2，OC+OP=6，則t=6s．
故t的值為4s或4.5s或6s時，△PBC為等腰三角形．

點評：本題結合函數考查了梯形面積、三角形面積，同時考查了等腰三角形的性質，注意有機的和圖形結合起來求解．