Question

已知：如圖，邊長為a的正△ABC內有一邊長為b的內接正△DEF，則△AEF的內切圓半徑為

 

．

Answer 1

分析：欲求△AEF的內切圓半徑，可以畫出圖形，然后利用題中已知條件，挖掘隱含條件求解．

解答：解：如圖（1），⊙I是△ABC的內切圓，由切線長定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
AD=AE=

1

2

[（AB+AC）-（BD+CE）]=

1

2

[（AB+AC）-（BF+CF）]=

1

2

（AB+AC-BC）．
在圖（2）中，由于△ABC，△DEF都為正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
∴△AEF≌△CFD；
同理可證：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
設M是△AEF的內心，MH⊥AE于H，
則AH=

1

2

（AE+AF-EF）=

1

2

（a-b）；
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AH•tan30°=

1

2

（a-b）•

3

3

=

3

6

(a-b)．

點評：本題考查圓的切線長定理的應用，題目來源于課本例題．