Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E為梯形內一點，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點旋轉90°使B與D重合，得到△DCF，連EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，則DM：MC的值為

 

．

Answer 1

分析：由旋轉的性質易得△BEC≌△DFC，可得∠EBC=∠FDC，CE=CF=3，在直角三角形BEC中即可求得BE=4；已知∠BCD=90°，由∠EBC+∠ECB=90°，且∠BCE+∠ECM=90°，即可得∠EBC=∠ECM，則∠ECM=∠FDC；則可證得△CME∽△DMF即可得DM：MC=DF：CE即可得解．

解答：解：連接DF，

∵△BEC繞C點旋轉90°使B與DC重合，得到△DCF，
∴△BEC≌△DFC，
∴∠EBC=∠FDC①，BE=DF，CE=CF=3，
在直角三角形BEC中，BE=

BC2-CE2

=4；
已知∠BCD=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，∠BCE+∠ECM=90°，
∴∠EBC=∠ECM②，
∴由①②得∠ECM=∠FDC；
又∵∠CME=∠DMF，
∴△CME∽△DMF，
∴DM：MC=DF：CE=4：3．
故答案為：4：3．

點評：本題考查了旋轉的性質，直角梯形的性質，相似三角形的判定及性質等知識點，是一道綜合性的中檔題．