Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2．
（1）求證：BC=CD；
（2）在邊AB上找點E，連接CE，將△BCE繞點C順時針方向旋轉90°得到△DCF．連接EF，如果EF∥BC，試畫出符合條件的大致圖形，并求出AE：EB的值．

Answer 1

分析：（1）過點A作AH⊥BC，解直角△ABH，可知BH=AD，且CD=2AD，tan∠ABC=2，可得BC=CD．
（2）依題意畫出圖形，利用AE：EB=DM：CM，根據角度關系，求出FM=CM，FM=2DM，進而可求出比值．

解答：（1）證明：過點A作AH⊥BC，垂足為點H，如圖，
在Rt△AHB中，∵tan∠ABC=2，
∴AH=2BH，
∵AD∥BC，∠BCD=90°
∴AH=DC，AD=HC，
∵CD=2AD，
∴AH=2HC，
∴BH=HC，即BC=CD；

（2）解：畫出符合條件的大致圖形，
根據題意，得：△ECF中，CE=CF，∠ECF=90°，∠FDC=∠CBE，
∵EF∥BC，∴DC⊥EF，
∴∠ECD=∠FCD=45°，CM=FM，
設EF與DC交于點M，
Rt△DMF中，∵tan∠FDM=tan∠ABC=2，
∴FM=2DM
∴

AE

EB

=

DM

CM

=

1

2

．

點評：（1）本題考查梯形，矩形、直角三角形的相關知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為矩形和直角三角形，從而由矩形和直角三角形的性質來求解．
（2）考查了作圖能力以及平行線平分線段成比例定理．