Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E是AB邊上一點，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點F，連接AF、BF．
（1）求證：AD=BE；
（2）試判斷△ABF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質和三角形的內角和定理推出∠BEC=∠ADE，根據AAS證出△EAD≌△EBC即可；
（2）延長AF交BC的延長線于M，證△ADF≌△MFC，推出AF=FM，根據等腰三角形性質推出AF⊥BF，根據直角三角形斜邊上中線性質推出AF=BF即可．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵DE⊥EC，
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，
∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，
∴△EAD≌△EBC，
∴AD=BE．

（2）答：△ABF是等腰直角三角形．
理由是：延長AF交BC的延長線于M，
∵AD∥BM，
∴∠DAF=∠M，
∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，
∴△ADF≌△MFC，
∴AD=CM，
∵AD=BE，
∴BE=CM，
∵AE=BC，
∴AB=BM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∵△ADF≌△MCF，
∴AF=FM，
∴∠ABC=90°，
∴BF⊥AM，BF=

1

2

AM=AF，
∴△AFB是等腰直角三角形．

點評：本題主要考查對直角梯形，直角三角形斜邊上的中線，等腰直角三角形，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．