Question

如圖，P為等邊△ABC內的一點，以PB為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．
（1）猜想AP與CQ的大小關系，并證明結論．
（2）若PA：PB：PC=5：12：13，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質利用SAS判定△ABP≌△CBQ，從而得到AP=CQ；
（2）設PA=5a，PB=12a，PC=13a，由已知可判定△PBQ為正三角形從而可得到PQ=4a，再根據勾股定理判定△PQC是直角三角形．

解答：解：（1）猜想：AP=CQ，
證明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BQ=BP，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；

（2）由PA：PB：PC=5：12：13
可設PA=5a，PB=12a，PC=13a，
在△PBQ中
由于PB=BQ=12a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ為正三角形．
∴PQ=12a．
于是在△PQC中
∵PQ²+QC²=144a²+25a²=169a²=PC²
∴△PQC是直角三角形．

點評：此題考查學生對等邊三角形的性質，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的綜合運用．