Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(2，0)，C(0，-4)，直線l：y=-x-4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+x+c上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于F．

(1)試求該拋物線表達式；

(2)如圖(1)，若點P在第三象限，四邊形PCOF是平行四邊形，求P點的坐標；

(3)如圖(2)，連接AC．求證：△ACD是直角三角形．

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x-4；(2)P點的坐標為(-8，-4)，(-2.5，-)；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法即可求a、c的值，從而求得拋物線的表達式;
（2）設P點的坐標是（x，x2+x-4），則F（x，-x-4），由OCPF是平行四邊形得OC=FP,OC∥PF，從而-x2-x=4，求解即可得P的橫坐標，代入解析式即可得P的坐標．
（3）分別求出點A、C、D的坐標，可以根據勾股定理的逆定理即可判斷

(1)依題意，拋物線經過A(2，0)，C(0，-4)，則c=-4

將點A代入得0=4a+×2-4，解得a=

拋物線的解析式是y=x2+x-4

(2)設P點的坐標是(x，x2+x-4)，則F(x，-x-4)

∴PF=(-x-4)-(x2+x-4)=-x2-x

∵四邊形OCPF是平行四邊形

∴OC=FP，OC∥PF

∴-x2-x=4

即2x2+21x+40=0

解得x1=-8x2=-2.5

∴P點的坐標為(-8，-4)，(-2.5，-)

(3)當y=0時，-x-4=0，得x=-8，即D(-8，0)

當x=0時，0-4=y，即C(0，-4)

當y=0時，x2+x-4=0

解得x1=-10x2=2，即B(-10，0)，A(2，0)

∴AD=10

∵AC2=22+42=20

CD2=82+42=80

∴AD2=AC2+CD2

∴∠ACD=90°△ACD是直角三角形