Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AC分別交坐標(biāo)軸于A，C（8，0）兩點(diǎn)，AB∥x軸，B（6，4）．

（1）求過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+4的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ為平行四邊形；
（3）若點(diǎn)M為直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AMC的面積最大？求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)和△AMC的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵過(guò)B（6，4），C（8，0）兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+4．

∴ ，

解得 ．

∴過(guò)B、C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：如圖2，

由題可得：BQ=6﹣t，CP=t．

當(dāng)BQ∥CP且BQ=CP時(shí)，四邊形BCPQ為平行四邊形．

∴6﹣t=t．

解得：t=3．

（3）

解：過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N，如圖3，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+4，

則有8k+4=0．

解得：k=﹣ ．

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4．

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，

則有yM=﹣ m2+ m+4，yN=﹣ m+4．

∴MN=yM﹣yN

=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）

=﹣ m2+2m．

∴S△AMC=S△AMN+S△CMN

= MNOC

= ×（﹣ m2+2m）×8

=﹣m2+8m

=﹣（m﹣4）2+16．（0＜m＜8）

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)m=4時(shí)，S△AMC取到最大值，最大值為16，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，6）．

【解析】（1）用待定系數(shù)法就可求出過(guò)B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式．（2）若四邊形BCPQ為平行四邊形，則有BQ=CP，從而建立關(guān)于t的方程，就可求出t的值．（3）過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN= MNOC可以得到S△AMC=﹣（m﹣4）2+16．然后利用二次函數(shù)的最值性就可解決問(wèn)題